▷ Binární, desítkový, osmičkový a hexadecimální systém, co to je a jak to funguje

Pokud jste student informatiky, elektroniky nebo jakéhokoli oboru inženýrství, jednou z věcí, které byste měli vědět, je provádět číslovací převody systému. Používané číslovací systémy se liší od toho, co tradičně známe, stejně jako náš desítkový systém. Proto se velmi pravděpodobně, pokud se věnujeme oblasti výpočetní, programovací a podobné technologie, musíme znát nejpoužívanější systémy a jak vědět, jak převést z jednoho systému na druhý.

Index obsahu

Jak provádět číslovací převody systému

Obzvláště užitečné je znát konverzní systém Decimal to Binary a naopak, protože se jedná o systém číslování, se kterým komponenty počítače pracují přímo. Je však také velmi užitečné znát hexadecimální systém, protože se používá například k reprezentaci barevných kódů, klíčů a velkého počtu kódů od našeho týmu.

Číslovací systémy

Systém číslování sestává ze znázornění sady symbolů a pravidel, která nám umožňují sestavovat platná čísla. Jinými slovy, spočívá v použití řady ohraničených symbolů, pomocí kterých bude možné bez dalšího omezení tvořit další číselné hodnoty.

Aniž bychom zašli příliš daleko do matematických pojmů definic, budou systémy, které lidé a stroje používají nejvíce, následující:

Desítkový systém

Je to polohový číslovací systém, ve kterém jsou množství reprezentována aritmetickou základnou čísla deset.

Protože základem je číslo deset, budeme mít schopnost sestavit všechna čísla pomocí deseti čísel, která jsou ta, která všichni známe. 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9. Tato čísla budou použita k vyjádření pozice pravomocí 10 při tvorbě libovolného čísla.

V tomto číslovacím systému bychom tedy mohli reprezentovat číslo následujícím způsobem:

Vidíme, že desetinné číslo je součet každé hodnoty základnou 10 zvýšenou na pozici-1, kterou každý člen zabírá. Budeme to mít na paměti při převodu v jiných číslovacích systémech.

Binární systém

Binární systém je číslovací systém, ve kterém se používá aritmetická základna 2. Tento systém je ten, který počítače a digitální systémy používají interně k provádění absolutně všech procesů.

Tento číslovací systém je reprezentován pouze dvěma číslicemi, 0 a 1. Proto je založen na dvou (dvouciferných) číslech a budou tak vytvářeny všechny hodnotové řetězce.

Oktální systém

Stejně jako v předchozích vysvětleních si můžeme představit, co to je o osmičkovém systému. Octal systém je číslovací systém, ve kterém se používá aritmetická základna 8, to znamená, že budeme mít 8 různých číslic reprezentujících všechna čísla. Budou to: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 a 7.

Hexadecimální systém

Podle předchozích definic je desítkové číslovací systém poziční číslovací systém, který je založen na čísle 16. V tomto bodě si položíme otázku, jak získáme 16 různých čísel, pokud například 10 je kombinací dvou čísel jiný?

No, velmi jednoduše jsme je vymysleli, ne my, ale ti, kdo vymysleli dotyčný systém. Čísla, která zde budeme mít, budou: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E a F. tím je celkem 16 různých termínů. Pokud jste někdy nastavili číselný kód barvy, má tento typ číslování, a proto uvidíte, jak bílá je například reprezentována jako hodnota FFFFFF. Uvidíme později, co to znamená.

Převod mezi binárním a desetinným systémem

Protože je to nejzákladnější a nejsrozumitelnější, začneme konverzí mezi těmito dvěma systémy číslování.

Převést číslo z binární na desetinné

Jak jsme viděli v první části, reprezentujeme desetinné číslo jako součet hodnot vynásobených výkonem 10 na pozici-1, kterou zaujímá. Použijeme-li to na libovolné binární číslo s odpovídající základnou, budeme mít následující:

1	0	0	1	1	0
1, 2 5	1, 2 4	1 · 2 3	1, 2 2	1 · 2 1	1 · 2 0

Pokud bychom ovšem postupovali stejně jako v desítkovém systému, získali bychom samozřejmě jiné hodnoty než 0 a 1, což jsou hodnoty, které můžeme v tomto systému číslování reprezentovat.

Přesně to však bude velmi užitečné pro převod na desítkový systém. Vypočítáme výsledek každé hodnoty v poli:

1	0	0	1	1	0
1, 52 = 32	1, 2 4 = 0	1, 2 3 = 0	1, 2 2 = 4	1 · 2 1 = 2	1 · 2 0 = 0

Pokud tedy uděláme součet těchto hodnot vyplývajících z každé buňky, dostaneme desetinnou ekvivalentní hodnotu binární hodnoty.

Desetinná hodnota 100110 je 38

Museli jsme pouze vynásobit číslici (0 nebo 1) její základnou (2) zvýšenou na pozici-1, kterou zaujímá na obrázku. Přidáme hodnoty a budeme mít číslo v desítkové soustavě.

Pokud jste nebyli přesvědčeni, nyní provedeme opačný postup:

Převést desetinné číslo na binární

Pokud předtím, než jsme udělali násobení čísel a součet pro určení desetinné hodnoty, nyní to, co budeme muset udělat, je vydělit desetinné číslo základnou systému, do kterého chceme převést, v tomto případě 2.

Tento postup budeme provádět, dokud již nebude možné provádět další dělení. Podívejme se, jak by se to stalo.

Číslo	38	19	9	4	2	1
Divize	÷ 2 = 19	÷ 2 = 9	÷ 2 = 4	÷ 2 = 2	÷ 2 = 1	-
Odpočinek	0	1	1	0	0	1

To je výsledek minimalizace následných divizí. Možná jste si už uvědomili, jak to funguje. Pokud nyní vezmeme zbytky každé divize a obrácíme její pozici, získáme binární hodnotu desetinného čísla. To znamená, že jsme začali od místa, kde jsme ukončili divizi zpět:

Máme tedy následující výsledek: 100110

Jak vidíme, dokázali jsme mít přesně stejné číslo jako na začátku sekce.

Převod zlomkové desetinné číslo na binární

Jak dobře víme, existují nejen celá desetinná čísla, ale můžeme také najít reálná čísla (zlomky). A jako číslovací systém by mělo být možné převést číslo z desetinného systému na binární systém. Vidíme, jak to udělat. Vezměme si jako příklad číslo 38, 375

To, co musíme udělat, je oddělit každou část. Už víme, jak spočítat celou část, takže půjdeme přímo na desítkovou část.

Postup bude následující: musíme vzít desítkovou část a vynásobit ji základnou systému, tj. 2. Výsledek násobení musíme znovu znásobit, dokud nezískáme zlomkovou část 0. Pokud se při násobení objeví frakční číslo s celočíselnou částí, budeme muset vzít zlomek pouze pro další násobení. Pojďme se podívat na příklad, abychom to lépe pochopili.

Číslo	0, 375	0, 75	0, 50
Násobení	* 2 = 0, 75	* 2 = 1, 50	* 2 = 1, 00
Celá část	0	1	1

Jak vidíme, vezmeme desítkovou část a znovu ji vynásobíme, dokud nedosáhneme 1, 00, kde výsledek bude vždy 0.

Výsledek 38 375 v binárním formátu bude pak 100 110 011

Co se však stane, když v tomto procesu nemůžeme nikdy dosáhnout výsledku 1, 00? Podívejme se na příklad s 38, 45

Číslo	0, 45	0, 90	0, 80	0, 60	0, 20	0, 40	0, 80
Násobení	* 2 = 0, 90	* 2 = 1, 80	* 2 = 1, 60	* 2 = 1, 20	* 2 = 0, 40	* 2 = 0, 80	* 2 = 1, 60
Celá část	0	1	1	1	0	0	1

Jak vidíme , od 0, 80 se proces stává periodickým, to znamená, že nikdy nedokončíme postup, protože se vždy objeví čísla od 0, 8 do 0, 4. Naším výsledkem bude aproximace desetinného čísla, čím dále jdeme, tím větší přesnost získáme.

Takže: 38, 45 = 100 110, 01110011001 1001 …

Podívejme se, jak udělat reverzní proces

Převod zlomkové binární číslo na desetinné

Tento proces bude prováděn stejným způsobem jako normální změna základny, kromě toho, že od čárky budou síly záporné. Vezměme si celé číslo předchozího binárního čísla:

0	1	1	1	0	0	1	…
0, 2 -1 = 0	1, 2 -2 = 0, 25	1, 2 -3 = 0, 125	1, 2 -4 = 0, 0625	1, 5-2 = 0	1, 5-2 = 0	1, 2-2 = 0, 0078125	…

Pokud přidáme výsledky, získáme:

0, 25 + 0, 125 + 0, 0625 + 0, 0078125 = 0, 4453

Pokud bychom pokračovali v provádění operací, dostali bychom se blíž a blíže k přesné hodnotě 38, 45

Převod mezi osmičkovým a binárním systémem

Nyní si ukážeme, jak provést převod mezi dvěma systémy, které nejsou desetinné, proto vezmeme osmičkový systém a binární systém a provedeme stejný postup jako v předchozích částech.

Převést číslo z binární na osmičkovou

Převod mezi oběma systémy číslování je velmi jednoduchý, protože základna osmičkového systému je stejná jako v binárním systému, ale je zvýšena na sílu 3, 2 ³ = 8. Na základě toho, co uděláme, je seskupení binárních termínů do skupin po třech, počínaje zprava doleva a přímo převáděných na desetinné číslo. Podívejme se na příklad s číslem 100110:

1	0	0	1	1	0
100	110
0, 2 2 = 4	0, 2 1 = 0	1 · 2 0 = 0	1, 2 2 = 4	1 · 2 1 = 2	0 · 2 0 = 0
4	6

Seskupujeme každé tři číslice a provádíme převod na desetinné místo. Konečným výsledkem bude, že 100110 = 46

Ale co když nemáme perfektní skupiny po 3? Například 1001101, máme dvě skupiny 3 a jednu z 1, podívejme se, jak postupovat:

0	0	1	0	0	1	1	0	1
001	100	110
0, 2 2 = 0	0, 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1	0, 2 2 = 0	0, 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1	1, 2 2 = 4	1 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1
1	1	5

Podle postupu bereme skupiny zprava termínu a když dosáhneme konce, vyplníme tolik nul, kolik je třeba. V tomto případě jsme potřebovali dva, abychom dokončili poslední skupinu. Takže 1001101 = 115

Převést osmičkové číslo na binární

Postup je stejně jednoduchý jako opak, tj. Přecházení z binárního na desítkové ve skupinách 3. Podívejme se na to s číslem 115

Hodnota	1	1	5
Divize	÷ 2 = 0	0	0	÷ 2 = 0	0	0	÷ 2 = 2	÷ 2 = 1	-
Odpočinek	1	0	0	1	0	0	1	0	1
Skupina	001	001	101

Tímto způsobem vidíme, že 115 = 001001101 nebo co je stejné 115 = 1001101

Převod mezi osmičkovým a desetinným systémem

Nyní uvidíme, jak provést postup přechodu z osmičkového systému na desítkové a naopak. Uvidíme, že postup je přesně stejný jako v případě desítkového a binárního systému, pouze musíme změnit základnu na 8 místo 2.

Postupy provedeme přímo s podmínkami s zlomkovou částí.

Převést desetinné číslo na osmičkové

Podle postupu decimálně-binární metody ji provedeme na příkladu 238.32:

Celá část. Dělíme se základnou, která je 8:

Číslo	238	29	3
Divize	÷ 8 = 29	÷ 8 = 3	-
Odpočinek	6	5	3

Desetinná část vynásobíme základnou, která je 8:

Číslo	0, 32	0, 56	0, 48	0, 84	0, 72	…
Násobení	* 8 = 2, 56	* 8 = 4, 48	* 8 = 3, 84	* 8 = 6, 72	* 8 = 5, 76	…
Celá část	2	4	3	6	5	…

Získaný výsledek je následující: 238, 32 = 356, 24365…

Převést osmičkové číslo na desetinné

Tak tedy pojďme opačným postupem. Pojďme předat osmičkové číslo 356 243 na desetinné místo:

3	5	6	,	2	4	3
3, 8 2 = 192	5, 8 8 1 = 40	6 · 2 0 = 6		2, 8 -1 = 0, 25	4, 8 - 2 = 0, 0625	3, 8-3 = 0, 005893

Výsledek je: 192 + 40 + 6, 0, 25 + 0, 0625 + 0, 005893 = 238, 318

Převod mezi šestnáctkovým systémem a desítkovým systémem

Poté dokončíme proces převodu mezi hexadecimálním číslovacím systémem a desítkovým systémem.

Převést desetinné číslo na šestnáctkové

Podle postupu decimálně-binární a desítkově-osmičkové metody ji provedeme na příkladu 238.32:

Celá část. Dělíme se základnou, která je 16:

Číslo	238	14
Divize	÷ 16 = 14	-
Odpočinek	E	E

Desetinná část, kterou vynásobíme základnou, která je 16:

Číslo	0, 32	0, 12	0, 92	0, 72	0, 52	…
Násobení	* 16 = 5, 12	* 16 = 1, 92	* 16 = 14, 72	* 16 = 11, 52	* 16 = 8, 32	…
Celá část	5	1	E	B	8	…

Získaný výsledek je následující: 238, 32 = EE, 51EB8…

Převést číslo z hexadecimální na desetinné

Tak tedy pojďme opačným postupem. Předáme hexadecimální číslo EE, 51E za desetinnou čárkou:

E	E	,	5	1	E
E16 1 = 224	E · 16 0 = 14		5 · 16 -1 = 0, 3125	1, 16 -2 = 0, 003906	E16 -3 = 0, 00341

Výsledek je: 224 + 14, 0, 3125 + 0, 003906 + 0, 00341 = 238, 3198…

To jsou hlavní způsoby, jak změnit základnu z jednoho systému číslování na jiný. Systém je použitelný pro systém v jakékoli základní a desetinné soustavě, i když jsou nejpoužívanější v oblasti výpočetní techniky.

Mohlo by vás také zajímat:

Pokud máte nějaké dotazy, zanechte je v komentářích. Pokusíme se vám pomoci.